誕生日に、友達が私にプレゼントを郵送して（　　）ました。

他者（友達）が自分（私に）に恩恵のある動作をしてくれたことを表すため、「〜てくれる（郵送してくれました）」の形になります。主語が「友達が」、受ける対象が「私に」であるため「くれ」が正解です。「あげました」は自分が相手に与える場合、「もらいました」は「友達『に』郵送して『もらい』ました」という助詞構成の時に用います。