窓を開けた___寝てしまい、風邪をひいてしまった。

「〜まま」は、ある状態が続いている中で、別の行動をすることを表す。ここでは「窓が開いている」という状態のままで「寝てしまった」ことを示している。「っぱなし」も似ているが、普通ではない状態を放置するという非難の気持ちが含まれることが多い。「きり」は「それ以降〜ない」という意味。「がてら」は「〜のついでに」という意味。