公共職業安定所を通じて、新しい就職先を___してもらった。

正解は「斡旋」です。「斡旋」は、間に入って両者がうまくいくようにとりなすことを意味し、特に就職や取引などで改まった場で使われる言葉です。公共の機関が仕事を見つける手助けをするという文脈に最も適しています。「仲介」も間に立つことですが、不動産などより広い範囲で使われます。「紹介」は、単に引き合わせることを意味します。「調停」は、争い事の仲裁をすることを意味します。