「手を 洗ってから 食べます」 means "I eat after washing my hands." It uses the sequential pattern 「〜てから」 (after doing...) attached to the て-form of the verb 「洗う」 (to wash), which is 「洗って」.

「手(て)を 洗(あら)ってから 食(た)べます」は「手(て)を洗(あら)った後(あと)に食(た)べる」という順序(じゅんじょ)を 表(あらわ)します。動詞(どうし)「洗(あら)う」のて形(けい)である「洗(あら)って」に「から」を 接続(せつぞく)します。