「ここで 食べませんか」 translates to "Won't you eat here?" or "Would you like to eat here?" It uses the action location particle 「で」 with 「ここ」 (here), and the polite invitation pattern 「〜ませんか」 attached to the ます-stem of 「食べる」 (to eat), which is 「食べ」.

「ここで 食べ(たべ)ませんか」は「ここで食べ(たべ)ましょう」と相手(あいて)の意向(いこう)を伺い(うかがい)ながら丁寧(ていねい)に提案(ていあん)・勧誘(かんゆう)する表現(ひょうげん)です。「食べる(たべる)」のます形(けい)語幹(ごかん)に「ませんか」が接続(せつぞく)します。