一肌脱ぐ

友人が困っていると聞いて、彼の成功のために＿＿＿ことにした。

The idiom '一肌脱ぐ' (hitohada nugu) means 'to roll up one's sleeves' or 'to make a special effort to help someone.' It implies taking on a task willingly to assist another person. This fits the context of helping a friend in need. The other options are incorrect: '高を括る' (taka o kukuru) means to underestimate. '匙を投げる' (saji o nageru) means to give up. '鼻にかける' (hana ni kakeru) means to be boastful.

「一肌脱ぐ（ひとはだぬぐ）」は「他人のために、労を惜しまず手助けをする」という意味の慣用句です。困っている友人の成功のために力を貸す、という文脈に最も合います。他の選択肢は、「高を括る」が「大したことはないと見くびる」、「匙を投げる」が「見込みがないと諦める」、「鼻にかける」が「自慢する」という意味で、文脈に合いません。