The correct reading is かいこしゅみ, using the standard On'yomi for all kanji. 趣 (しゅ) is often confused, but its On'yomi here is しゅ, not じゅ. 懐 (かい) also does not undergo rendaku to がい. It describes nostalgia or sentimentalism for the past, an appreciation for bygone eras or items.

正しい読みは「かいこしゅみ」で、全ての漢字が音読みです。趣（しゅ）をじゅと誤読したり、懐（かい）が連濁してがいとなったりすることはありません。過去の物事や時代を懐かしみ、好む傾向や趣味を指します。