「ここで 食べませんか」 translates to "Won't you eat here?" or "Would you like to eat here?" It uses the action location particle 「で」 with 「ここ」 (here), and the polite invitation pattern 「〜ませんか」 attached to the ます-stem of 「食べる」 (to eat), which is 「食べ」.

「ここで 食べませんか」は「ここで食べましょう」と相手の意向を伺いながら丁寧に提案・勧誘する表現です。「食べる」のます形語幹に「ませんか」が接続します。