「書いて います」 means "I am writing" or "currently writing." This uses the 「〜て います」 pattern to describe an action that is happening right now. The て-form of the verb 「書く」 (to write) is 「書いて」. For instance, 「日記を 書いて います」 means "I am writing a diary."

「書いて います」は「書いている」と、動作が進行中であることを示します。「〜て います」の形です。