"～ませんか" (masen ka) is a polite way to invite someone or make a suggestion. It literally means "Won't you...?" or "Would you like to...?" It's a question that expects a response, making it softer than "～ましょう."

「～ませんか」は、相手を誘う時や、何かを提案する時に使う丁寧な言い方です。「一緒に食べませんか」は「一緒にどうですか」という意味です。