あいだ

映画(えいが)を みて いる 間(あいだ) に 眠(ねむ)ってしまった。

The correct answer is "間(あいだ)" (aida). This sentence uses the pattern "V-ている間(あいだ)に" (while V-ing, something happened/was completed). "映画(えいが)を観(み)ている" (watching a movie) describes an ongoing action. By adding "間(あいだ)", the phrase "映画(えいが)を観(み)ている間(あいだ)に" means "while watching a movie", specifying the period during which the speaker fell asleep. "観(み)て" is the te-form verb and "いる" is the auxiliary verb for the progressive form, both already present. "に" is a particle that follows "間(あいだ)", not fills the blank before it.

正解は「間(あいだ)」です。「V-ている間(あいだ)に」は「Vしている間に、何かが起こった」という意味を表します。「映画を観ている」という動作の継続中に眠ってしまったので、「観ている間(あいだ)に」となります。「観て」と「いる」はすでに文中にあり、「に」は「間」の後ろにくる助詞のため不適当です。