まい

どんなに苦しくても、彼は最後までスポーツを諦めることはある「まい」。

The grammar pattern '〜まい' (mai) functions either as a expression of a strong negative intention ('I shall definitely not do X') or a negative conjecture ('probably not X'). It is a literary and somewhat classical structure. It generally attaches to the dictionary form of verbs (or the stem of Group 2 verbs). In modern Japanese, it is reserved for formal essays, dramatic speech, or representing strong resolve not to repeat a mistake. In this sentence, it translates perfectly as: "No matter how tough it gets, there is probably no way he will give up on sports until the very end.". The correct option 'まい' dynamically matches the structural requirements and logical flow of the statement. 'べきだ' is incorrect because '諦めるべきだ' means 'he should give up'. you are telling him to quit! 'まい' expresses a strong belief that he won't give up.

「〜まい」は、話し手の強い否定の意志（絶対に〜しないぞ）または、否定の推量（おそらく〜ないだろう）を表す文法表現です。少し古風で硬い表現であり、書き言葉や格式ばった表現で使われます。 接続は主に「動詞の辞書形＋まい」または「グループ2動詞のない形＋まい」となります（例：食べるまい / 食べまい）。するは「するまい/すまい」、来るは「来るまい/こまい」となります。 本問では、「どんなに苦しくても、彼は最後までスポーツを諦めることはある（　　　）。」という文脈で使われており、「まい」を補うことで最も自然な日本語表現になります。 他の選択肢について、べきだは「'諦めるべきだ' means 'He SHOULD give up'. You are telling him to quit! 'まい' expresses a strong belief that he won't give up.」ため、この文脈では不適当となります。