奨励

大学は国際交流を推進するため、学生の海外留学を積極的に（　　）している。

"奨励" (shourei) means to encourage or promote something as a good thing, often by providing support. It fits the context of a university encouraging students to study abroad perfectly. "推薦" (suisen) means to recommend a specific person, "勧誘" (kan'yuu) means to invite someone to join a group, and "促進" (sokushin) means to promote or accelerate a process, which is less about directly encouraging individuals.

「奨励」は、良いこととして、人々がそれを行うように励まし、勧めることを意味する。大学が学生に留学を勧めるという文脈に最も合う。「推薦」は特定の人物を他者に薦めること、「勧誘」は団体や活動に参加するよう誘うこと、「促進」は物事が早く進むように働きかけることであり、個人への働きかけを意味するこの文脈には「奨励」が最適。