免れた

パイロットの巧みな操縦により、飛行機は墜落の危機をかろうじて ___ 。

The correct verb is '免れた' (manukareta), the past tense of '免れる' (manukareru), meaning 'to escape from' or 'to avoid' a negative situation. The plane escaped the danger of crashing. '凌いだ' (shinoida) means 'to endure' or 'to get through' a difficult situation; while similar, '免れた' more strongly implies completely avoiding the disastrous outcome. '覆した' (kutsugeashita) means 'to overturn'. '携わった' (tazusawatta) means 'to be involved in'. '免れた' best captures the sense of avoiding a specific peril.

正解は「免れた」です。「免れる（まぬかれる）」は、好ましくない事態や危険、責任などを負わずに済む、それを避けられるという意味です。「墜落の危機」という最悪の事態を避けることができた、という文脈に最も合います。「凌いだ（しのいだ）」は困難な状況を耐え抜くという意味で近いですが、「免れた」のほうが危険そのものから逃れたという結果のニュアンスが強いです。「覆した（くつがえした）」は状況をひっくり返すこと。「携わった（たずさわった）」は関わること。