携わって

私は長年、環境保護活動に＿＿＿きました。

The correct verb is '携わって' (tazusawatte), the te-form of '携わる' (tazusawaru), which means 'to be engaged in' or 'to be involved in' a particular field or activity. It implies a professional or long-term commitment. '免れて' (manukarete) means to escape from. '怠って' (okotatte) means to neglect. '促して' (unagashite) means to urge or prompt. These do not fit the context of participating in activities.

正解は「携わって」です。「携わる（たずさわる）」は、ある特定の仕事や活動に（専門的に）関係するという意味です。長年、環境保護活動に関わってきた、という文脈に最適です。「免れて（まぬがれて）」は悪い事態から逃れる意。「怠って（おこたって）」は義務などをしない意。「促して（うながして）」は他人に行動を勧める意で、文脈に合いません。