The correct reading is がいたん (gaitan). 慨 (gai) and 嘆 (tan) are both on'yomi readings, typical for expressing sorrow or regret. Incorrect readings like がいだん (gaidan) misread 嘆. かいかん (kaikan) and けいたん (keitan) are misreadings of 慨 and 嘆 respectively. It means 'lamentation,' 'grief,' or 'regret,' expressing deep sorrow or distress, often over a unfortunate situation.

正しい読みは「がいたん」です。慨も嘆も音読みで、共に悲しみや残念な気持ちを表す漢字です。「がいだん」は嘆の読み間違い、「かいかん」や「けいたん」は慨や嘆の読み間違いです。意味は「嘆き悲しむこと」「慨嘆する」で、残念な出来事に対して深く悲しみ、嘆く様子を表します。