たまらない

国の家族に会いたくて___。

Both '〜てたまらない' and '〜てしょうがない' express an unbearable, strong feeling, but '〜てたまらない' tends to be used more strongly for personal feelings and desires (〜たい, 〜てほしい). '〜てしょうがない', on the other hand, is used more broadly for not just emotions but also physiological sensations (sleepy, hungry) and situations. In this sentence, which expresses the strong desire 'want to see,' 'たまらない' is more natural.

「〜てたまらない」と「〜てしょうがない」はどちらも「非常に〜だ」という我慢できないほどの強い気持ちを表しますが、「〜てたまらない」は特に個人的な感情や欲求（〜たい、〜てほしい）について強く使われる傾向があります。一方、「〜てしょうがない」は感情だけでなく、眠い、お腹がすくなどの生理的な感覚や状況にも幅広く使われます。「会いたい」という強い欲求を表すこの文では、「たまらない」がより自然です。