「一緒に 勉強しませんか」 translates to "Won't you study with me?" or "Would you like to study together?" The negative question pattern 「〜ませんか」 is a highly polite invitation. It is attached to the ます-stem of the する-verb 「勉強する」 (to study), which is 「勉強し」.

「〜ませんか」は、相手(あいて)を気遣いながら丁寧(ていねい)に勧誘(かんゆう)・招待(しょうたい)する表現(ひょうげん)です。「勉強(べんきょう)する」のます形(けい)語幹(ごかん)「勉強(べんきょう)し」に接続(せつぞく)します。「一緒(いっしょ)に」は「共(とも)に」という意味(いみ)です。