休(やす)まないで一歩(いっぽ)ずつ進(すす)みました。

勝負(しょうぶ)が始(はじ)まり、カメは休(やす)まずに歩(ある)き続(つづ)けました。

The passage states that the turtle moved forward step by step and kept walking without resting ('一歩ずつ前に進みました。カメは休まないで歩き続けました'), which matches the correct answer.

文章の中に「一歩ずつ前に進みました。カメは休まないで歩き続けました」とあるため、「休まないで一歩ずつ進みました」が正解です。