大学に入る（　　）に、一生懸命勉強しています。

目的（〜を達成するために）を表す「〜ために」が正解です。前接する「大学に入る」という動作は話し手の意志でコントロール可能な動詞（意志動詞）の辞書形であるため、「ために」を接続します。他の選択肢：「ように」は状態の実現や可能（大学に入れるように、など）や無意志動詞の時に使うためここでは不適切です。「ことに」「ものに」は目的を表す文法ではありません。