Ignorando las preocupaciones de su familia, se fue a escalar la peligrosa montaña solo.

'~をよそに' expresa actuar ignorando las preocupaciones, la oposición o las expectativas de quienes te rodean. Aquí, la persona está ignorando las 'preocupaciones de la familia', que son los sentimientos de los demás, lo que hace que 'をよそに' sea la opción más adecuada. '~もかまわず' describe el estado de no preocuparse por cosas que normalmente importarían (como mojarse o ensuciarse), pero '~をよそに' tiene un matiz más fuerte de ignorar específicamente los sentimientos u opiniones de los demás.